🧱 游乐场 1.3

数正方形：平方和、立方和与四次方

一张 n×n 的方格纸里，藏着多少个正方形？把它们按大小分类数一遍，你就在做平方和。再往上一层，边框会变成立方。

平方和立方和望远镜求和严格推导

边长为 1 的小正方形有 64 个。

为什么数正方形就是算平方和？

想一想

🔍分类数数

数正方形不能乱数。按边长分类：边长为 1 的有 n² 个，边长为 2 的有 (n−1)² 个……边长为 n 的有 1² 个。

所以总数 = $n^2+(n-1)^2+\cdots+1^2$ ，倒过来写就是 1²+2²+⋯+n²。

🧮公式怎么来的？

可以用“三点确定”的想法猜测它是一个三次多项式，再用几个 n 值待定系数；更漂亮的是用恒等式：

把所有 k 加起来，左边望远镜式抵消，就能解出平方和。

🐈欧拉的小提示

平方和公式是 $n(n+1)(2n+1)/6$ 。看看它为什么一定被 6 整除：n、n+1、2n+1 中必有一个是 3 的倍数，也有一个偶数。

所以除出来一定是整数，不会出现“半个正方形”。

🎯小挑战

① 10×10 的网格里一共有多少个正方形？

② $1^2+2^2+\cdots+20^2$ 等于多少？

看答案

① 1²+⋯+10² = 10×11×21/6 = 385；② 20×21×41/6 = 2870。

边长从 T(3)=6 长到 T(4)=10，镶上的边框正好有 4³=64 块。

边框为什么正好是 k³？

想一想

🖼️两张正方形照片

边长 $T_k$ 的正方形面积是 $T_k^2$ ，边长 $T_{k-1}$ 的面积是 $T_{k-1}^2$ ，差就是新镶上的一圈边框。

这里用了 $T_k-T_{k-1}=k$ 和 $T_k+T_{k-1}=k^2$ 两个小事实。

🪜把 1³+2³+… 加起来

每层边框都对应一个立方数，而所有边框拼起来正好是边长 $T_n$ 的大正方形。

所以 立方和 = 三角形数的平方。这个结论叫尼科马库斯定理，两千年前就有人知道了。

🔢用数字检查

k	T_k	T_k²	新增
1	1	1	1 = 1³
2	3	9	8 = 2³
3	6	36	27 = 3³
4	10	100	64 = 4³
5	15	225	125 = 5³

🎯小挑战

① $1^3+2^3+\cdots+10^3$ 等于多少？

② 如果 $1^3+\cdots+n^3=3025$ ，n 是多少？

看答案

① T₁₀=55，55²=3025；② √3025=55=T₁₀，所以 n=10。

第一步：造一个差分。用二项式定理展开

(k+1)^5

，再减去

k^5

：

第二步：把所有 k 加起来。左边像伸缩望远镜一样抵消，只剩两头：

第三步：代入已知的幂和。右边是 5Σk⁴+10Σk³+10Σk²+5Σk+n，其中 Σk³、Σk²、Σk 我们都知道了。

第四步：解出 Σk⁴。把已知的代入、移项、除以 5，整理得：

公式不是猜出来的，是一步一步“挤”出来的。

这套“锻造法”还能造更多公式

想一想

🔭为什么叫望远镜求和？

把 $(k+1)^5-k^5$ 从 k=1 加到 n：第二项的 −2⁵ 和下一项的 +3⁵ 抵消，最后只剩 $(n+1)^5-1^5$ 。

就像把望远镜一节节收起来。这个技巧对任何幂都管用。

🔺帕斯卡三角形来帮忙

展开 (k+1)⁵ 用到的系数，就在帕斯卡三角形第 5 行：

121

1331

14641

15101051

这就是为什么式子里会出现 5、10、10、5、1。

🏭公式流水线

想要 Σk⁵？把 $(k+1)^6-k^6$ 展开、求和、移项，就得到五次方和。

代价是：越往后公式越长。数学家后来发明了伯努利数，把这一长串公式打包成一个漂亮的统一写法。

🎯小挑战

① 用公式算 $1^4+2^4+\cdots+10^4$ 。

② 用 (k+1)³−k³ 推出平方和公式，动手写一遍。

看答案

① n=10：10×11×21×(3×100+30−1)/30 = 10×11×21×329/30 = 25333。② (k+1)³−k³=3k²+3k+1，求和得 (n+1)³−1=3Σk²+3Σk+n，代入 Σk 后解出 Σk²。