⚙️ 游乐场 3.4

齿轮与过山车

变化会沿着齿轮一层层传下去，每一层的传动比相乘；过山车的山顶，切线正好水平。

链式法则复合函数极值优化

输入 x 中间 u=ax+1 输出 y=uⁿ

第一个齿轮转一圈，第二个转 a 圈，第三个再乘一层。

为什么是相乘？

想一想

第一级把变化放大 a 倍，第二级把变化再放大 $n u^{n-1}$ 倍。两级串起来，总倍数就是两个倍数的乘积。

这就是链式法则最直观的解释： $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ 。

把函数拆成两层：先算里面 $u=ax+1$ ，再算外面 $y=u^n$ 。

外层导数 $n u^{n-1}$ 再乘内层导数 $a$ ，就得到最终导数。

过山车到达最高点时，瞬间既不在上升也不在下降，所以切线水平，导数为 0。

但导数为 0 不一定就是山顶，还要看两侧是否变号。

用 20 米篱笆围矩形，设一边 $x$ ，面积 $A=x(10-x)$ 。

$A'=10-2x=0$ ，得 $x=5$ ，正方形时面积最大。

拖动切点，切线会跟着转；山顶和山谷处切线水平。

想一想

$f(x)=x^3-3x$ ， $f'(x)=3x^2-3$ 。令导数为 0，得到 $x=\pm1$ 。

$x=-1$ 是山顶， $x=1$ 是山谷。

求最大面积、最短时间、最省材料，都是先写函数，再令导数为 0，最后看两侧是否符合题意。

导数把“比较所有可能”变成了“解一个方程”。

① 用 12 米篱笆围矩形，最大面积是多少？

② $f(x)=x^3$ 在 0 处导数为 0，为什么不是极值？

看答案

① 3×3，面积 9 平方米；② 两侧导数都为正，函数一直上升，没有变号。