🧱 游乐场 3.3

求导积木

函数是积木拼出来的。每一块怎么变，拼起来就怎么变；乘积法则里还藏着一个交叉项。

幂法则和差乘积法则商法则

原函数

逐块求导

导函数

拖动系数和指数，看看每一块的导数怎样变。

为什么可以一块一块求？

想一想

$(u+v)'=u'+v'$：两个函数相加，变化率也相加。就像两辆车都在前进，总距离的变化率是两车速度之和。

$(uv)'=u'v+uv'$，不是 $u'v'$。面积模型里，两条边各自变化，贡献了两条“边条”，交叉项太小可以忽略。

$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$。分子中间是减号，顺序不能反。

① $(4x^3-2x+7)'$

② $(x^2+1)(x+3)'$

③ 判断：$(uv)'=u'v'$ 对吗？

看答案

① $12x^2-2$；② $3x^2+6x+1$；③ 不对，正确的是 $u'v+uv'$。

两条边各自增加一点，面积增加的不只是“两条边条”，还有一个角落的小方块。

想一想

矩形从 $u\times v$ 长到 $(u+\Delta u)(v+\Delta v)$，新增面积是三块：$v\Delta u$、$u\Delta v$、$\Delta u\Delta v$。

除以 $\Delta x$ 后，前两块分别变成 $u'v$ 和 $uv'$；第三块是“二阶小量”，极限里趋于 0。

当 $\Delta$ 不小的时候，交叉项是真实存在的。它藏在面积里，只是在求导的极限里“退场”了。

这也说明：导数是局部的、线性的近似。

取 $u=x$，$v=x$：$u'v+uv'=1\cdot x+x\cdot1=2x$，正好是 $(x^2)'$。

而 $u'v'=1$，明显不对。

① 用乘积法则求 $(x^2+1)(x+3)'$。

② 用商法则求 $\left(\frac{x}{x+1}\right)'$。

看答案

① $3x^2+6x+1$；② $\frac{1}{(x+1)^2}$。