小π 第一次翻开数学书的时候，打了一个很长的哈欠。

书上的公式长得像一排排压扁的蚂蚁：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。老师说要背下来，考试要考。小π背了，也考了，但过了一个暑假，公式就像沙子一样从指缝里漏光了。

后来小π 遇到了一只橘猫。

橘猫叫欧拉，喜欢睡在摊开的数学书上，也喜欢在别人快要放弃的时候，用尾巴尖敲敲某个数字。

欧拉说：“公式不是用来背的。公式是一张被压扁的地图。你要做的，是把它重新展开，看看它原本长什么样。”

这本书的三个约定

第一，先动手，再动脑。 每一节都有一个可以真正上手玩的网页。你可以拖滑杆、点按钮、把图形拆开再拼起来。玩过之后，公式会自己“长”出来。

第二，先猜，再证明。 猜错完全不丢人。数学家的日常就是：猜一个，被自己推翻，再猜一个。书里会留出“你觉得呢”的时刻，别急着翻答案。

第三，允许看不懂。 第一遍看不懂某一段，就跳过去玩网页，玩完再回来。很多数学不是“读懂”的，是“看懂了”之后才读得懂的。

每一节长什么样

你会反复遇到这几种小牌子：

• 📖 故事：小π 和欧拉在游乐场里遇到的一个问题。
• 🎪 动手玩：点开网页，亲手试一试。
• 💡 发现：玩着玩着，你会注意到的那件事。
• ⚠️ 小心坑：几乎每个人都会踩的坑，提前帮你标出来。
• 🎯 挑战：三道小题，答案在书后的附录里。

怎么使用这本书

你可以只读文字，也可以把这本书当成一张“游乐场地图”：

1. 浏览器里打开 index.html，这是游乐场大门。
2. 点“翻开第 1 章”，进入完整的书页。
3. 读到 🎪 的牌子时，点开对应的交互网页，玩够了再回来。
4. 想打印或存成 PDF，在书页右上角点“打印”。

给陪读的大人：这本书里的公式都给了推导，但推导是“看得见”的推导。如果孩子只想玩网页，也很好——先有画面，再有符号，顺序反了也没关系。

欧拉在书的第一页踩了一个梅花印，然后说：

“数学不是一门需要记性的学科。它是一门需要想象力的学科。现在，我们去游乐场吧。”

先澄清一件事：这一章的“对数”，不是 log。

不是那个让高中生头疼的“对数函数”，而是“对数字的认识”。如果你第一眼把它看成了 log，说明你的数学雷达很灵敏——但请把它关掉，这一章我们用不上它。

数字有四种长相

从小学到现在，你见过很多数字。但你可能没有注意过，同一串数字，可以有四种完全不同的“长相”。

第一种长相：排队。 1、2、3、4……它们排着队往前走。你想知道前 100 个加起来是多少，就面临一个“队伍太长”的问题。

第二种长相：折叠。 有些数字不是加出来的，而是乘出来的：1、2、4、8、16……每往后一步，就折叠一次。它要么缩得很小，要么炸得很大。

第三种长相：形状。 1、4、9、16……这些数可以摆成正方形；1、3、6、10……可以摆成三角形。数字不只是数量，它还是面积、是边框、是一层一层的积木。

第四种长相：原子。 2、3、5、7、11、13……它们没法再被拆成更小的整数乘积。所有整数都由它们“化合”而成。它们叫素数，是数字世界的原子。

这一章，我们就去这四个地方各玩一趟。

本章地图

• 1.1 高斯的一记神配对：从 1 加到 100，怎样在几秒钟内算完？为什么奇数加起来正好是一个正方形？
• 1.2 越变越小的饼干：无限多个数相加，为什么可能等于一个有限的数？公比的绝对值小于 1，到底意味着什么？
• 1.3 方块堆里的秘密：$1^2+2^2+\cdots +n^2$ 和 $1^3+2^3+\cdots +n^3$ 有什么画面？四次方的公式又是怎样被严格“锻造”出来的？
• 1.4 素数的筛子与森林：怎样快速判断一个数是不是素数？怎样把 N 以内的素数一网打尽？素数的分布，究竟有没有规律？

每一节都配了一个可以上手玩的网页。别客气，先玩。

出发前，欧拉的问题

欧拉趴在游乐场门口的栏杆上，尾巴一甩，问了三个问题：

1. 把 1 到 100 加起来，你打算加多久？
2. 0.999……一直写下去，它到底等不等于 1？
3. 素数的个数是有限的还是无限的？

小π 想了很久，说：“我好像一个都答不上来。”

欧拉很满意：“很好。带着问题进去，比带着答案进去好玩多了。”

开学第一天，数学老师想给全班一个下马威。

他在黑板上写下一行字：

1 + 2 + 3 + … + 100 = ?

然后说：“算不完不许回家。”

小π 刚拿起笔，就听见隔壁桌传来一声长长的哈欠。那是欧拉——一只混进教室的橘猫，正趴在窗台上，尾巴懒洋洋地垂着。

“你完蛋了，”小π 小声说，“一百个数，加到天黑也算不完。”

欧拉睁开一只眼：“谁让你真的一个一个加了？”

一、先别急着加

大多数人的第一反应是硬加：1+2=3，3+3=6，6+4=10……算到六十多就开始怀疑人生，而且只要中间错一步，后面全错。

欧拉用爪子把 1 到 100 写成了两行：

“现在，把上下两个数一对一地加起来。”欧拉说。

小π 试了试：

每一对都是 101。

一共 100 对，所以两行加起来是 $100\times 101$。但我们只要其中一行的和，于是除以 2：

小π 只用了一分钟。

二、把楼梯搬进游乐场

欧拉带小π 去了数字游乐场的第一站。那里有一座奇怪的楼梯：第一级高 1 格，第二级高 2 格，第三级高 3 格……第 n 级高 n 格。

“这叫三角形数，”欧拉说，“把每一级的高度加起来，就是 $1+2+\cdots +n$。”

打开 1.1 的游乐场，你会看到两种玩法。

玩法一：配对彩带。 最矮的一级和最矮……不对，是最矮的一级和最高的一级，被同一根彩带连起来。第二矮的和第二高的连起来，以此类推。每一对的高度和，都是 $n+1$。

玩法二：拼成矩形。 把整座楼梯复制一份，旋转 180°，正好能补进原来的楼梯里，拼成一个宽 $n$、高 $n+1$ 的矩形。楼梯占了矩形的一半。

于是：

这个式子，就是等差数列求和公式。

三、奇数为什么拼成正方形

游乐场里还有第二座设施。

小π 看到一堆小方块，边长从 1 开始一级一级地长。欧拉说：“每次长一层，你猜要添多少块？”

• 从 $1\times 1$ 长到 $2\times 2$，添 3 块；
• 从 $2\times 2$ 长到 $3\times 3$，添 5 块；
• 从 $3\times 3$ 长到 $4\times 4$，添 7 块。

全是奇数。

为什么会这样？因为边长为 k 的正方形有 $k^2$ 块，边长为 $k-1$ 的正方形有 $(k-1{)}^2$ 块，两层相差：

差值永远是奇数。所以“奇数”就是正方形一层一层的“年轮”。

把前 n 个奇数加起来，正好是边长为 n 的正方形：

欧拉打了个滚：“所以，奇数不是‘奇怪的数’，是‘正方形的边框’。”

四、公式是怎么被证明的

现在我们把这两件事写成严格的推导。

推导一：配对法

设 $S=1+2+\cdots +n$。

把和倒过来写一遍：

两式相加，每一列都是 $n+1$，一共 n 列：

所以 $S=\frac{n(n+1)}{2}$。

这个推导对偶数 n 和奇数 n 都成立，不需要分情况。之前“n 为奇数时中间会落单”的担心，被“两行相加”的技巧直接绕过去了。

推导二：矩形法

把三角形数摆成楼梯，复制一份旋转 180°，拼成 $n\times (n+1)$ 矩形。矩形面积是 $n(n+1)$，楼梯占一半，所以和是 $\frac{n(n+1)}{2}$。

同一个公式，一条代数路，一条几何路。两条路都通向同一个地方。

一般情况：等差数列

如果数列不是从 1 开始，而是从 $a_1$ 开始，每次加 $d$，最后一项是 $a_n$，那么：

也就是“首项加末项，乘项数，除以 2”。

小π 问：“那 $1+3+5+\cdots +(2n-1)$ 也能用这个公式吗？”

当然能。首项 1，末项 $2n-1$，项数 n：

和前面的正方形结论一模一样。

五、小心三个坑

六、高斯的传说与真实

传说高斯 9 岁时，老师布特纳让全班算 1 到 100 的和。高斯很快写下 5050，老师惊呆了。

这个故事流传很广，但细节未必全真。可以确定的是：高斯后来成了“数学王子”，而这个“首尾配对”的想法，确实是数学里最漂亮的小技巧之一。

欧拉补充：“顺便说，古埃及人和巴比伦人早就会算等差数列了。高斯不是第一个想到的人，但他是把它用得最出神入化的人之一。”

七、挑战

一句话记住

加法可以折叠成乘法，数列可以折叠成面积。

下一站，我们去吃一块永远吃不完的饼干。

小π 得到了一块巨大的饼干。

第一天，他吃掉了整块饼干的一半。第二天，他吃掉了剩下的一半。第三天，他又吃掉了剩下的一半……

“照这样吃下去，”小π 舔着手指说，“我是不是永远都吃不完？”

欧拉趴在饼干盒上，慢悠悠地说：“你确实永远会剩一点点。但你吃掉的饼干总量，是有限的。”

小π 愣住了：“无限次地吃，怎么会是有限的总量？”

欧拉说：“因为你每次吃的都越来越少，而且少得很有规律。”

欧拉把饼干换成了一个正方形，带小π 去了 1.2 的游乐场。第一刀竖着剪掉一半，第二刀横着剪掉剩下的一半，第三刀再竖着剪……每一刀都只剪掉“剩下部分”的一半。剪下来的小块留在原位，一块块把正方形填得越来越满，却总还留着一小块白色。

“如果一直剪下去呢？”小π 问。

“剩下的会缩成一个点。”欧拉说，“但剪下来的总面积，正好是一整块。”

一、什么叫等比数列

看这串数：

每一项都是前一项乘以 $\frac{1}{2}$。这个固定的乘数，叫公比，通常记作 q（这本书里我们有时也写成 x）。

等比数列的通项公式是：

这里 $a_1$ 是首项，q 是公比，n 是项数。

和等差数列不同，等比数列不是“排队往前走”，而是“折叠”：每走一步，就把上一步折叠一次。q 大于 1 时越折越大，q 小于 1 时越折越小。

二、先算有限项

在讨论“无限”之前，我们先老老实实算前 N+1 项的和：

这个和在生活里很常见。比如 x=0.5 时，它就是小π 吃掉饼干的总量（第一次吃 1/2，第二次吃 1/4……）。

欧拉教了小π 一个魔法，叫错位相减。

第一步，把 $S_N$ 写出来：

第二步，两边同时乘以 x：

第三步，把两个式子上下对齐，相减。

你会发现，中间那些项一模一样：$x$ 和 $x$ 抵消，$x^2$ 和 $x^2$ 抵消……最后只剩下两头：

左边提取公因数：

只要 $x\ne 1$，两边就可以同时除以 $1-x$：

这就是等比数列的有限项求和公式。

三、把 N 放到无穷大

现在回到小π 的饼干。

取 $x=\frac{1}{2}$，前 N+1 项的和是：

N 越大，$\frac{1}{2^N}$ 越小。N=10 时它约等于 0.00098，N=20 时约等于 0.00000095。

它越来越接近 0。

所以 $S_N$ 越来越接近 2，但永远比 2 小一点点。我们把这个“越来越接近的目标”叫作极限：

更一般地，只要 $|x|<1$，当 N 越来越大时，$x^{N+1}$ 会趋近于 0，于是：

这就是无穷等比级数的求和公式。

小π 盯着这个式子看了半天：“所以，我吃掉的总量正好是 2 块饼干？可我开始只有 1 块啊。”

欧拉说：“你把‘整块’和‘吃掉的部分’搞混了。你吃掉的，是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$，这里面并没有那个开头的 1。用公式算：$\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots \right)-1=2-1=1$。所以你吃掉的正好是一整块——只是在任何有限的天数里，你总还会剩一点点。”

小π 这才明白：“永远吃不完”说的是过程，“总量是一整块”说的是极限。两句话可以同时成立。

四、为什么必须 |x|<1

欧拉在纸上画了三个例子。

x = 1：$1+1+1+\cdots$，越加越大，没有尽头。公式的分母 $1-x$ 变成 0，直接失效。

x = 2：$1+2+4+8+\cdots$，每一项都在翻倍。只要加几十项，就能超过全世界所有的麦粒。

x = −1：$1-1+1-1+\cdots$，在 1 和 0 之间来回跳，永远定不下来。

只有当 $|x|<1$ 时，每一项才越来越小，$x^{N+1}$ 才趋近于 0，公式才成立。这个条件不是“附加要求”，它是公式能成立的根本原因。

五、棋盘上的爆炸

说到 x=2，就不能不提那个著名的棋盘故事。

传说一位国王要奖赏国际象棋的发明者。发明者说：“我只要麦子。第一格放 1 粒，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，每一格都是前一格的两倍，放满 64 格就好。”

国王觉得这要求太便宜了，一口答应。

结果算下来，第 64 格要放 $2^{63}$ 粒，约等于 $9.22\times 10^{18}$ 粒。前 64 格加起来是 $2^{64}-1$ 粒，重量约 4610 亿吨——是全世界一年小麦产量的好几百倍。

同一个公式 $1+x+x^2+\cdots$，在 $|x|<1$ 时收敛到一个有限的数，在 $x\ge 1$ 时爆炸。一个小小的绝对值，划分了两个世界。

六、0.999……到底等不等于 1

小π 一直有个疑问：“0.999……无限循环下去，是不是永远比 1 小一点点？”

欧拉说：“用等比数列算一算。”

这是首项 0.9、公比 0.1 的等比数列：

所以 $0.999\cdots =1$，不是“约等于”，是“等于”。它们只是同一个数的两种写法，就像 $\frac{1}{2}$ 和 $0.5$ 一样。

小π 有点不服气：“可是它看起来就是小一点啊。”

欧拉说：“‘看起来’不是数学。数学看的是：这两个数之间，你能不能找到另一个数？找不到，它们就是同一个数。”

七、小心三个坑

八、挑战

一句话记住

无限不一定是无穷大；“越来越小”是收敛的钥匙。

欧拉把小π 带到了游乐场的积木区。

地上铺着一张巨大的方格纸，旁边堆着一箱小方块。欧拉说：“给你一个任务：数一数这张 8×8 的方格纸里，一共有多少个正方形。”

小π 信心满满：“1、2、3、4……这有什么难的？”

十分钟后，小π 数乱了。

欧拉用尾巴尖敲了敲纸面：“别一个一个数。按大小分类。”

一、网格里有多少个正方形

先看边长是 1 的小正方形。8×8 的格子，每一格都是一个小正方形，一共 $8\times 8=8^2$ 个。

再看边长是 2 的正方形。它的左上角可以放在哪里？横向有 7 个位置，纵向也有 7 个位置，所以有 $7^2$ 个。

边长是 3 的正方形，左上角有 6×6 个位置，所以有 $6^2$ 个。

一直数到边长是 8 的大正方形，只有 $1^2$ 个。

于是总数是：

倒过来写，就是：

“所以，”欧拉说，“数正方形，其实就是在算平方和。”

打开 1.3 的游乐场，你可以亲手一格一格地数，看每种大小的正方形怎样被高亮出来，累计的数字怎样一点点长到公式预测的总数。

二、平方和公式

我们希望找到一个公式：

先看几个小数据：

• $n=1$：$1$
• $n=2$：$1+4=5$
• $n=3$：$1+4+9=14$
• $n=4$：$1+4+9+16=30$

这些数字能看出规律吗？直接看不出来。但数学家有一个办法：找差分。

考虑相邻两个立方数的差：

这个式子把 $k^2$ 孤立出来了。把 k 从 1 到 n 全部写出来，然后加起来：

左边是一个“望远镜”：$2^3-1^3$、$3^3-2^3$、$4^3-3^3$……中间全抵消，只剩下 $(n+1{)}^3-1$。

而 $\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$ 我们已经知道了。于是：

其中 S 就是平方和。解出 S：

把右边通分化简（只是代数运算，没有新想法），得到：

用 n=8 验证：$\frac{8\times 9\times 17}{6}=204$。小π 在游乐场里数出来的，正好也是 204。

三、立方和：正方形的边框

现在把积木换个摆法。

正方形数 $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ 是三角形数。用 $T_k$ 当边长画正方形，它的面积是 $T_k^2$。

当边长从 $T_{k-1}$ 长到 $T_k$ 时，新镶上去的 L 形边框有多少块？

用面积相减：

而 $T_k-T_{k-1}=k$，$T_k+T_{k-1}=k^2$。所以：

边框正好是 $k^3$ 块。

把 k=1 到 n 的边框全部加起来，正方形从 $T_0=0$ 长到 $T_n$：

这就是立方和公式，也叫尼科马库斯定理。它有一个非常漂亮的读法：

前 n 个立方数的和，等于前 n 个自然数之和的平方。

验证一下：$n=4$ 时，$1+8+27+64=100$，而 $T_4=10$，$10^2=100$。对上了。

在游乐场里，你每点亮一层，就会看到一圈边框被高亮，右上角写着 $k^3$。那些数字不是算出来的，是“长”出来的。

四、四次方：严格推导

平方和、立方和都有了几何画面。那四次方呢？

这一节，我们不做“跳步”的推导，一步一步来。方法还是望远镜，只是这次要升到五次方。

第一步：构造差分

用二项式定理展开 $(k+1{)}^5$，再减去 $k^5$：

这里的系数 5、10、10、5、1，来自帕斯卡三角形第 5 行。

第二步：把所有 k 加起来

把 k=1 到 n 的式子全部相加。左边是望远镜，中间抵消：

右边逐项求和：

第三步：代入已知的幂和

我们已经知道：

把它们代进去，右边就只剩一个未知数 $\sum k^4$：

第四步：解出四次方和

把已知项移到左边，两边除以 5：

接下来是纯代数：把 $n(n+1)$ 提出来，通分，展开，合并同类项。过程有点长，但没有一步需要“灵感”。整理的结果是：

用 n=5 验证：$\frac{5\times 6\times 11\times (75+15-1)}{30}=\frac{5\times 6\times 11\times 89}{30}=979$。

而 $1+16+81+256+625=979$。对上了。

五、公式流水线

把上面的方法抽象一下，你会得到一个“公式流水线”：

1. 想求 $\sum k^p$，就构造差分 $(k+1{)}^{p+1}-k^{p+1}$。
2. 展开，右边会出现 $k^p$、$k^{p-1}$、……、常数。
3. 把 k 从 1 到 n 求和，左边望远镜式抵消成 $(n+1{)}^{p+1}-1$。
4. 把低次幂和代进去，解出 $\sum k^p$。
5. 通分化简。

用这台流水线，你可以继续造出五次方和、六次方和……只是公式会越来越长。

六、三种“和”的对照

看出规律了吗？p 次方和的公式，是一个 p+1 次多项式。而且它总是被 $n(n+1)$ 整除——因为前 n 项和的“形状”里，天然带着这两个因子。

七、挑战

一句话记住

把“很多项”折叠成“两项”，是求和问题的万能钥匙。

游乐场的最后一站，是一片森林。

森林里的树按照编号排列：1 号、2 号、3 号、4 号……小π 发现，有些编号的树特别“孤僻”，比如 2、3、5、7、11、13。它们除了 1 和自己，没有别的因数。

“这些数叫素数，”欧拉说，“它们是数字世界的原子。所有整数，都能由素数乘出来。”

小π 问：“那 1 呢？”

“1 不是素数。”欧拉说，“因为它太特殊了——如果 1 算素数，那么 6 可以写成 $2\times 3$，也可以写成 $1\times 2\times 3$，还可以写成 $1\times 1\times 2\times 3$……分解就不唯一了。数学家为了‘唯一分解’，把 1 请出了素数俱乐部。”

一、什么是素数

一个大于 1 的整数，如果只有 1 和它自己两个正因数，就叫素数（也叫质数）。否则叫合数。

• 2 是素数，而且它是唯一的偶素数。
• 3、5、7、11、13、17、19、23、29、31……都是素数。
• 4、6、8、9、10、12……都是合数。
• 1 既不是素数也不是合数，它自成一类。

素数的“原子性”体现在算术基本定理里：每个大于 1 的整数，都能唯一地分解成素数的乘积（不考虑顺序）。

这串分解是唯一的。素数就像化学里的元素，所有整数都是它们“化合”出来的。

二、怎样快速判断一个数是不是素数

最直接的办法：拿 2、3、4、5……一个个去除，看能不能整除。

但如果 n 很大，这样太慢了。数学家发现：只需要试到 $\sqrt{n}$。

为什么呢？假设 n 是合数，那么 $n=a\times b$，其中 a、b 都大于 1。如果 a 和 b 都大于 $\sqrt{n}$，那么 $a\times b>\sqrt{n}\times \sqrt{n}=n$，矛盾。

所以，a 和 b 里至少有一个不超过 $\sqrt{n}$。我们只要在 2 到 $\sqrt{n}$ 之间找因数，找不到，n 就一定是素数。

在实际计算里，还可以继续优化：

• 只试素数。 2 的倍数、3 的倍数已经被 2 和 3 排除了，不用再试合数。
• 跳过明显的数。 除了 2 和 3，所有素数都形如 $6k\pm 1$（因为 $6k$、$6k+2$、$6k+3$、$6k+4$ 都能被 2 或 3 整除）。
• 大数用米勒–拉宾。 判断几百位的大数时，用米勒–拉宾（Miller–Rabin）检测，几毫秒就能给出“几乎确定”的答案。

费马小定理与它的“骗子”

还有一个更神奇的检测方法，来自费马小定理：

如果 n 是素数，那么对任意不被 n 整除的整数 a，都有 $a^{n-1}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$。

取 a=2，只需要算一次 $2^{n-1}\mathrm{mod}n$。如果余数不是 1，n 一定不是素数。

但反过来不成立：有些合数也能让 $2^{n-1}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$。它们叫卡迈克尔数，比如：

所以费马检测只能用来“排除合数”，不能用来“确认素数”。米勒–拉宾就是在它的基础上多随机几个底数，把被骗的概率降到极低。

三、埃拉托斯特尼筛法

如果我们要找出 N 以内的所有素数，一个一个判断就太慢了。这时候要用“筛子”。

方法如下：

1. 把 2 到 N 的所有整数写下来。
2. 2 是素数，把 2 的倍数（4、6、8……）全部划掉。
3. 下一个没被划掉的是 3，它是素数，把 3 的倍数划掉。
4. 下一个没被划掉的是 5，把 5 的倍数划掉。
5. 一直重复。最后没被划掉的，就是素数。

为什么可以停？因为如果 p 是当前素数，并且 $p^2>N$，那么所有小于等于 N 的 p 的倍数早就被更小的素数划掉了。所以只需要筛到 $\sqrt{N}$。

这个算法叫埃拉托斯特尼筛法，是古希腊图书馆长埃拉托斯特尼发明的，到今天还在用。

在游乐场里，你可以选一个 N，看筛子一层层地划掉合数：先划 2 的倍数，再划 3 的倍数……最后剩下的绿色数字，就是素数。

四、素数森林的地图

筛出素数之后，小π 把前 100 个素数写在纸上，问欧拉：“它们有规律吗？”

欧拉说：“有‘大规律’，但没有‘小公式’。我们一张一张地图看。”

地图一：π(n) 曲线

记 $\pi (n)$ 为不超过 n 的素数个数。比如：

• $\pi (10)=4$（2、3、5、7）
• $\pi (100)=25$
• $\pi (1000)=168$
• $\pi (10^6)=78498$

把 $\pi (n)$ 画成曲线，你会发现它一直在涨，但越涨越慢。

素数定理告诉我们：

意思是：当 n 很大时，$\pi (n)$ 和 $\frac{n}{\ln n}$ 的比值趋近于 1。

这也意味着，素数出现的“密度”大约是 $\frac{1}{\ln n}$。n 越大，遇到素数的概率越小。

地图二：素数的间隔

相邻两个素数之间的差，叫间隔。比如 11 和 13 的间隔是 2，13 和 17 的间隔是 4。

平均间隔大约是 $\ln n$。n 越大，间隔整体越大。

但有趣的是，间隔为 2 的素数对（孪生素数）一直出现：

孪生素数有没有无穷多对？这是数学界最著名的未解问题之一。2013 年，张益唐证明了“相差不超过 7000 万的素数对有无穷多对”，震惊了世界。后来这个上界被不断缩小。

地图三：乌岚螺旋

把自然数排成螺旋，再把素数涂上颜色，会看到一些斜线。

这不是巧合。螺旋对角线上的数，往往可以写成 $4k^2\pm 2k+1$ 这样的二次多项式。某些二次多项式“碰巧”更容易产生素数，于是就排成了线。

但注意：这些线是“图案”，不是“规律”。素数没有已知的简单生成公式。

地图四：末位数字

除了 2 和 5，所有素数都只能以 1、3、7、9 结尾。因为偶数结尾能被 2 整除，5 结尾能被 5 整除。

这四种末位出现的次数大致接近，但并不是严格平均。素数在末位上的分布，仍然有微妙的偏差。

五、素数有无穷多个

欧拉说：“最后，我教你一个两千年前的证明。”

假设素数只有有限个，把它们全部乘起来，再加 1：

这个 N 除以任何一个 $p_i$，都会余 1。所以它要么本身是素数，要么有一个不在名单里的素因数。无论哪种情况，都说明“素数已经列完了”是错的。

所以，素数有无穷多个。

六、素数有什么用

小π 问：“研究素数有什么用？”

欧拉说：“你现在上网的每一次支付，背后都站着两个很大的素数。”

RSA 加密的原理是：把两个大素数乘起来很容易，但把乘积分解回两个素数极其困难。公钥里放的是乘积，私钥里放的是那两个素数。只要素数足够大，分解就要花掉宇宙年龄那么长的时间。

除此之外，素数还出现在：

• 哈希函数和随机数生成；
• 纠错码；
• 计算机科学的算法设计；
• 甚至蝉的进化策略（有一种蝉的生命周期是 13 年或 17 年，素数年数能减少与天敌“撞车”的概率）。

素数是数学的“原子”，也是现代密码学的基石。

七、小心四个坑

八、挑战

一句话记住

素数是数字的原子，分布像森林——越走越稀，却永远走不到尽头。

从游乐场出来，小π 的口袋里多了四张票根。

欧拉问：“你学到了什么？”

小π 想了想，说：“我学会了几个公式。”

欧拉摇头：“公式是结果。我想知道的是，你看数字的眼光有没有变。”

四种眼光

第一种：配对的眼光。看到一个“一长串”的加法，先别急着加。看看首尾能不能配对，看看能不能复制一份拼成矩形。$1+2+\cdots +n$ 的公式，就是这样“折叠”出来的。

第二种：折叠的眼光。看到乘法、看到翻倍，就要想到等比数列。公比的绝对值小于 1，数列会收敛；大于等于 1，就会爆炸。无限项相加不一定无穷大——这是这一章最反直觉的一件事。

第三种：形状的眼光。看到平方和、立方和，不要只看到符号。平方和是网格里的正方形，立方和是正方形边框一层层长大。数字可以变成图形，图形可以变成数字。这就是“数形结合”。

第四种：筛选的眼光。看到一类特殊的数，就要想到“如何高效地把它们找出来”。试除法、筛法、概率检测，都是“筛选”的不同层次。素数是数字的原子，而筛子是寻找原子的工具。

四张公式卡片

三种方法

这一章反复出现了三个“招数”，它们比公式更值得记住：

1. 配对。 把对称的东西放在一起，让复杂变简单。高斯配对、正方形边框，都是配对。
2. 错位相减。 把两个“几乎一样”的式子错开一位再相减，消掉中间一大堆项。等比数列求和靠它。
3. 望远镜求和。 构造 $(k+1{)}^{p+1}-k^{p+1}$，逐项相加时中间抵消，只剩两头。平方和、立方和、四次方和，都靠它。

自测：你真的懂了吗

不用计算器，试着回答：

1. 为什么 $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$？
2. 为什么 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots =2$，而 $1+2+4+\cdots$ 没有有限和？
3. 为什么判断素数只需要试到 $\sqrt{n}$？
4. 四个公式里，哪几个是“面积”，哪几个是“边框”？

如果卡住了，回到对应的小节，或者再玩一遍那个网页。玩比背有用。

下一站

欧拉在游乐场的地图上，用爪子指了指远处：

“下一章，我们去看看分数。整数排完队之后，会出现一些‘不完整’的数。它们会带我们去一个更奇怪的地方——那里有不能写成分数的数，也有比任何分数都更‘密’的数。”

小π 问：“那是什么？”

欧拉打了个哈欠：“那是下一章的事了。先把这一章的票根收好。”

游乐场的中央，立着一座巨大的摩天轮。

小π 坐进 3 号座舱，摩天轮缓缓转动。他低头看着地面，发现自己的高度一会儿升高、一会儿降低，升到最高点时，风最大；转到最低点时，能看清地上的蚂蚁。

“欧拉，”小π 问，“如果我知道自己转到了哪个角度，能不能算出我离地面多高？”

欧拉趴在旁边的座舱里，尾巴搭在窗沿上：“不光能算高度。你把高度随角度的变化画出来，会得到一条波浪。这条波浪，就是这一章的主角。”

同一个圆的四种看法

第 1 章里，数字有四种长相：排队、折叠、形状、原子。到了圆这里，同一件事也有四种看法：

• 角度。 你转了多少度？转了多少弧度？
• 坐标。 圆上的一个点，横坐标和纵坐标分别是多少？
• 波浪。 点的高度随时间变化，画出来是什么样？
• 旋转。 先转 α 再转 β，能不能一次转完？

这四种看法，分别对应这一章的四个小节。

本章地图

• 2.1 摩天轮与单位圆：角度、弧度，以及 $\sin$、$\cos$ 到底在量什么。
• 2.2 把圆展开成波浪：把圆周“剪开”铺平，得到正弦曲线；振幅、周期、频率、相位。
• 2.3 旋转的加法：两个旋转合起来，为什么会得到和角公式？
• 2.4 影子乐队：圆周运动的影子为什么会变成简谐运动？几个影子叠在一起，为什么能变成声音？

每一节都配了一个可以动手玩的网页。你会拖着角度转圈，也会真的“听见”一条波。

出发前，欧拉的问题

欧拉从口袋里掏出一张皱巴巴的纸，上面写着三个问题：

1. 为什么数学家用弧度，而不是度数？
2. 摩天轮转一圈，高度变化几次？
3. 两个相差 6 Hz 的音叉一起响，为什么声音会“嗡——嗡——”地一强一弱？

小π 想了半天：“第二个我好像能猜到，另外两个完全没概念。”

欧拉很满意：“很好。这一章结束的时候，三个都要能答上来。”

摩天轮转到 30° 的时候，小π 离地面多高？

欧拉没有直接回答，而是在纸上画了一个圆，圆上点了一个点。“先别管摩天轮有多大。我们先看一个半径为 1 的圆，叫它单位圆。”

“为什么是 1？”

“因为 1 最省事。所有圆都能按比例放大缩小，先把 1 研究清楚，别的圆乘个半径就行。”

一、角度有两种写法

我们平常说“转 90°”，用的是角度制：一整圈 360°，半圈 180°。

但数学家更爱用弧度制。它的定义很朴素：在圆上截一段弧，如果这段弧的长度正好等于半径，那么这段弧对应的圆心角就是 1 弧度。

因为整个圆的周长是 $2\pi r$，所以一整圈是 $2\pi$ 弧度：

于是：

弧度不是“另一种单位”那么简单。它把角度和弧长直接绑在一起：

其中 $s$ 是弧长，$r$ 是半径。当 $r=1$ 时，角度就等于弧长。这就是为什么微积分、物理、工程里几乎都用弧度——它让“角”和“长度”用同一把尺子。

二、单位圆上的坐标

把单位圆的圆心放在原点，从正 x 轴开始，逆时针转一个角 $\theta$，圆上会落在一个点 $P$。

这个点的坐标，就是：

也就是说：

• 横坐标是 $\cos \theta$；
• 纵坐标是 $\sin \theta$。

这不是定义，而是“投影”的结果：从 $P$ 向 x 轴作垂线，垂足到原点的距离就是 $\cos \theta$；向 y 轴作垂线，垂足到原点的距离就是 $\sin \theta$。

小π 盯着图看了一会儿：“所以 sin 和 cos 不是两个新数，是圆上点的两个坐标？”

“对。”欧拉说，“三角函数不是从三角形里长出来的，是从圆上长出来的。三角形只是圆的一个切片。”

在 2.1 的游乐场里，左边是摩天轮，右边是单位圆。你拖动角度，两边的点会一起转：摩天轮的高度对应 $\sin \theta$，水平位置对应 $\cos \theta$。

三、几个必须记住的角

单位圆上最常用的几个点：

不用死记。画一个单位圆，把 $30^{\circ }$、$45^{\circ }$、$60^{\circ }$ 的点标出来，再向两条轴作垂线，坐标自然就出来了。

四、符号与象限

单位圆被两条坐标轴分成四个象限。点落在不同象限，$\sin$ 和 $\cos$ 的正负也不同：

• 第一象限（右上）：$\sin >0,\cos >0$
• 第二象限（左上）：$\sin >0,\cos <0$
• 第三象限（左下）：$\sin <0,\cos <0$
• 第四象限（右下）：$\sin <0,\cos >0$

口诀可以记成“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，但更可靠的办法是：直接看坐标的正负。

五、最重要的恒等式

因为 $P=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 在单位圆上，而单位圆的方程是 $x^2+y^2=1$，所以：

这个式子叫平方关系。它其实是勾股定理穿了三角函数的衣服。

它还有一个直接推论：无论 $\theta$ 是多少，$\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 的绝对值都不会超过 1，也不会同时为 0。点永远在圆上。

六、摩天轮的高度

现在回到小π 的问题。

假设摩天轮的中心离地面 $H$ 米，半径 $R$ 米，座舱从水平位置开始逆时针转 $\theta$。那么座舱离地面的高度是：

• 转到最高点 $\theta =\frac{\pi }{2}$：$h=H+R$；
• 转到最低点 $\theta =\frac{3\pi }{2}$：$h=H-R$；
• 转一整圈 $2\pi$：高度回到起点。

所以摩天轮转一圈，高度完成一次完整的“高—低—高”循环。这个循环，就是下一节要展开的波浪。

七、小心三个坑

八、挑战

一句话记住

三角函数，就是单位圆上那个点的坐标。

摩天轮转一圈，小π 的高度完成了一次“低—高—低”。如果他把每一时刻的高度画在纸上，会得到一条上下起伏的曲线。

欧拉把圆从纸上“剪开”，铺成一条直线，然后在旁边画了一条波浪：“你看，圆上的点转一圈，正好对应波浪走完一个周期。”

一、从圆到波

单位圆上的点，纵坐标是 $\sin \theta$。

• 当 $\theta$ 从 0 增加到 $\frac{\pi }{2}$，$\sin \theta$ 从 0 升到 1；
• 从 $\frac{\pi }{2}$ 到 $\pi$，从 1 降回 0；
• 从 $\pi$ 到 $\frac{3\pi }{2}$，从 0 降到 −1；
• 从 $\frac{3\pi }{2}$ 到 $2\pi$，从 −1 升回 0。

把 $\theta$ 当作横坐标，$\sin \theta$ 当作纵坐标，把这些点描出来，就得到一条正弦曲线。

“圆展开成波”这句话，在数学上可以写得很具体：弧长 $s=r\theta$，把 $s$ 铺在横轴上，把圆上的高度铺在纵轴上。对单位圆来说，横轴就是 $\theta$。

二、波的四个参数

真实世界里的波，很少是“标准”的 $y=\sin t$。它可能更高、更密、更早或更晚。于是我们写出：

这里出现了四个量：

• 振幅 $A$：波最高能到多少。$|A|$ 是振幅，$A<0$ 时波会上下翻转。
• 角频率 $\omega$：转得多快。$\omega$ 越大，波越“密”。
• 周期 $T$：走完一个完整波形需要的时间。$T=\frac{2\pi }{\omega }$。
• 频率 $f$：一秒钟走完几个周期。$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$。
• 初相 $\phi$：$t=0$ 时波已经走到了哪里。它让整条波左右平移。

小学、初中的“频率”常指每秒几次，这里的 $f$ 正是这个意思；而 $\omega$ 是“每秒转多少弧度”，所以多了一个 $2\pi$。

三、sin 和 cos 是同一条波

把 $\sin$ 曲线向左平移 $\frac{\pi }{2}$，就得到 $\cos$ 曲线：

所以 sin 和 cos 不是两种波，而是同一条波的两个“起跑位置”。这也解释了为什么它们的图像形状完全一样，只是错开了四分之一个周期。

同理，$\sin (-\theta )=-\sin \theta$，$\cos (-\theta )=\cos \theta$。正弦是奇函数，余弦是偶函数。

四、参数怎么改变图像

• 把 $A$ 变大：波被纵向拉高。
• 把 $\omega$ 变大：波被横向压密，周期变短。
• 把 $\phi$ 变大：整条波向左平移；$\phi$ 变小则向右平移。
• 把 $A$ 变成负数：波上下翻转。

在 2.2 的游乐场里，你可以同时拖动这三个滑块，看圆上的点和右边的波浪怎样同步变化。你还会看到一条“周期标尺”，能量出相邻两个波峰之间的距离。

五、声音也是波

声音是空气的振动。振动的快慢决定音高，振动的幅度决定响度，波形的细节决定音色。

• 频率越高，音越高。标准音 A4 是 440 Hz，意思是每秒振动 440 次。
• 振幅越大，声音越响。
• 同样频率下，正弦波听起来很“纯”，吉他的波形更复杂，所以音色不同。

这一节先建立“波”的图像，下一节我们会让几个波叠在一起，做出更复杂的声音。

六、小心三个坑

七、挑战

一句话记住

圆上的匀速旋转，展开就是一条波。

小π 在游乐场里发现了一个“双转盘”：先转第一个盘 α 角，再转第二个盘 β 角。

“那不就是一次转 $\alpha +\beta$ 吗？”小π 说。

“对。”欧拉说，“但你想过没有：$\sin (\alpha +\beta )$ 能不能拆成 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\sin \beta$、$\cos \beta$ 的组合？”

小π 试了试：“$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha +\sin \beta$？”

欧拉摇头：“你转 30° 再转 30°，高度会变成两倍吗？”

一、先看一个反例

取 $\alpha =30^{\circ }$，$\beta =30^{\circ }$。

$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，所以 $\sin 30^{\circ }+\sin 30^{\circ }=1$。

但 $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$，不是 1。

所以 $\sin (\alpha +\beta )\ne \sin \alpha +\sin \beta$。三角函数不是“拆开就加”的。

二、旋转的合成

单位圆上，先转 $\alpha$，再转 $\beta$，等于一次转 $\alpha +\beta$。

用坐标表示，旋转 $\alpha$ 会把点 $(x,y)$ 变成：

这是旋转矩阵的作用：

先转 $\alpha$ 再转 $\beta$，相当于把两个旋转矩阵乘起来。而结果应该等于一次转 $\alpha +\beta$ 的矩阵。比较两边的元素，就得到和角公式：

把 $\beta$ 换成 $-\beta$，利用 $\sin (-\beta )=-\sin \beta$、$\cos (-\beta )=\cos \beta$，还能得到差角公式：

三、用图看一遍

在 2.3 的游乐场里，你会看到：

• 一条从原点出发的射线，先转到 $\alpha$；
• 再转 $\beta$，落到 $\alpha +\beta$；
• 两个角对应的横纵投影，被分别标了出来。

把 $\cos (\alpha +\beta )$ 的投影拆开，正好是“$\cos \alpha \cos \beta$ 减去 $\sin \alpha \sin \beta$”。这不是代数变形，而是几何上的两段长度相减。

四、倍角公式

令 $\beta =\alpha$，和角公式就变成倍角公式：

倍角公式在物理里很常见：比如简谐运动里的“倍频”，就是倍角公式在起作用。

五、辅助角公式

形如 $a\sin x+b\cos x$ 的式子，看起来是两个波，其实可以合成一个波：

其中 $\phi$ 满足 $\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$。

这个公式在 2.4 会派上大用场：两个同频率的波叠加，结果还是一条同频率的波，只是振幅和相位变了。

六、小心三个坑

七、挑战

一句话记住

旋转会相加，三角函数会展开。

游乐场的最里面，有一个奇怪的舞台。

舞台上有两个转盘，转盘上各有一个小球。灯光从侧面照过来，小球在墙上的影子落在同一条竖线上。两个影子一上一下，合成了一个更复杂的上下运动。

“这就是影子乐队。”欧拉说，“每一个转盘是一个乐手，影子是它的歌声。两个影子叠在一起，声音就变了。”

一、圆周运动的影子

一个点匀速转圈，它在一条直径上的投影，会来回摆动。

让转盘半径为 $A$，角速度为 $\omega$，初始角为 $\phi$，那么影子离中心的位置是：

这个“来回摆动”叫简谐运动（SHM）。摩天轮的高度、钟摆的摆动、弹簧的振动、声带的振动，本质上都是某个圆周运动的投影。

为什么是投影？因为圆周运动有两个分量：一个在 x 方向，一个在 y 方向。从侧面看，你只看到其中一个分量，它就在做“余弦式”的往复运动。

二、周期与频率

简谐运动走完一次完整来回，需要的时间是周期：

一秒钟完成几次来回，是频率：

• 钟摆慢悠悠：周期长，频率低。
• 蜂鸟翅膀：周期极短，频率高。
• 声音：空气每秒振动几百次，所以频率在几百 Hz 量级。

在 2.4 的游乐场里，你可以拖动两个转盘的频率。频率越接近，影子合成的波形越“纠缠”；频率差得远，波形就很快变得复杂。

三、波的叠加

两个影子叠在一起，位置相加：

如果两个转盘的频率相同，结果还是一条同频率的余弦波，只是振幅和相位变了（这就是 2.3 的辅助角公式在帮忙）。

如果两个频率很接近，会出现一种特别的现象：拍。

两个频率相差 $\Delta f$ 的波叠在一起，合振动的振幅会以 $\Delta f$ 的频率一强一弱地变化。人耳听到的，就是“嗡——嗡——”的周期性起伏。

四、声音是什么

声音是空气的振动。它有三个基本要素：

• 音高：由频率决定。频率越高，音越高。
• 响度：由振幅决定。振幅越大，声音越响。
• 音色：由波形的细节决定。同样是 440 Hz，小提琴和钢琴听起来不一样，因为它们的波形里混着不同的高次谐波。

在游乐场里，点“听一听”按钮，你会听到两个相差几赫兹的音同时响起。仔细听，声音会一强一弱地起伏——这就是拍。

五、为什么投影这么重要

物理里到处是“圆周运动的投影”：

• 单摆在小角度下近似做简谐运动；
• 弹簧振子的位移是余弦函数；
• 交流电的电压是正弦函数；
• 潮汐、声波、光波，都可以用正弦波叠加来描述。

一个看起来简单的“转圈”，投影出来就是整个振动与波的世界。

六、小心三个坑

七、挑战

一句话记住

圆周运动的影子，就是简谐运动；影子的叠加，就是波。

从旋转园出来，小π 的头发被风吹得乱糟糟的。

欧拉问：“你学到了什么？”

小π 说：“我知道了 sin 和 cos 是圆上点的坐标，还知道圆展开就是波。”

欧拉点点头：“那你说说，为什么摩天轮的高度、钟摆的摆动、声音的振动，看起来完全不一样，却能用同一套公式描述？”

小π 想了想：“因为它们都是‘圆上的点’投下来的影子。”

“答对了。”

三张脸

这一章的三角函数有三张脸：

1. 圆上的坐标：$(\cos \theta ,\sin \theta )$。
2. 直角三角形的比：对边比斜边、邻边比斜边。
3. 波浪：$y=A\sin (\omega t+\phi )$。

它们是同一个东西。看到其中一张，要能想到另外两张。

六个公式

两种眼光

第一种：投影的眼光。 看到旋转，就想到它在某条轴上的影子；看到摆动，就想到它背后那个匀速转动的圆。

第二种：叠加的眼光。 复杂的波，可以拆成简单波的叠加；反过来，简单的波叠在一起，也可能变成复杂的声音、潮汐、电流。

自测

1. 为什么数学家用弧度？
2. 摩天轮转一圈，高度变化几次？周期是多少？
3. 两个频率相差 3 Hz 的音叉，拍频是多少？
4. $\sin (\alpha +\beta )$ 能不能写成 $\sin \alpha +\sin \beta$？

如果卡住了，回到对应小节，或者再玩一遍游乐场。

挑战答案

2.1

① $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，$\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

② 最高 22 米，最低 2 米。

③ $\sin 210^{\circ }<0$，$\cos 210^{\circ }<0$。

④ $\sin \theta =\frac{4}{5}$。

2.2

① 振幅 2，角频率 3，周期 $\frac{2\pi }{3}$，初相 $\frac{\pi }{4}$。

② $T=0.2$ 秒，$\omega =10\pi$。

③ $-\cos t$。

④ $\sin \theta =\cos \left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)$。

2.3

① $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

② $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。

③ $\frac{24}{25}$。

④ $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。

2.4

① 振幅 3，周期 $\frac{\pi }{2}$，频率 $\frac{2}{\pi }$。

② 4 Hz。

③ 两个波相位相反，逐点抵消。

④ 高度是正弦型函数 $h=H+R\sin (\omega t+\phi )$。

下一站

欧拉指着远处的过山车：“下一章，我们去看‘变化的速度’。摩天轮转得有多快，过山车在某一瞬间有多快，曲线在每一点有多陡——这些问题的答案，都叫导数。”

小π 问：“导数难吗？”

欧拉笑了：“你已经在旋转园里见过它了。圆的影子，就是变化的开始。”

游乐场的东边，有一条长长的下坡路。

小π 骑着一辆借来的自行车，冲下坡。码表上的数字不停跳动：12、18、25、31……他越骑越快。

“欧拉，”小π 喊，“码表上显示的是我现在的速度，可速度本身也在变啊。‘现在’这一刻的速度，到底是什么意思？”

欧拉坐在后座，尾巴被风吹得笔直：“这个问题，问出了整个微积分。”

一个瞬间，怎么会有速度？

速度是“路程除以时间”。可如果你只取“一个瞬间”，时间是 0，路程也是 0，$0/0$ 没有意义。

数学家没有硬算这个 $0/0$，而是换了一个问题：

如果我只取很小很小的一段时间，平均速度会趋近于什么？

这个“趋近于什么”，就是导数。

本章地图

• 3.1 从平均速度到瞬时速度：割线怎样变成切线？导数定义里的极限是什么意思？
• 3.2 切线与导函数：每一点的斜率组成一个新函数；为什么尖点没有导数？
• 3.3 求导积木：幂函数、和差、乘积、商的求导法则，以及乘积法则为什么不是简单相乘。
• 3.4 链式法则与最优：变化套着变化；怎样用导数找山顶、山谷和最大面积。

每一节都有一个可以动手玩的网页。你会拖动 $h$ 让它越来越小，也会亲手把切线“贴”到曲线上。

出发前，欧拉的问题

欧拉从口袋里掏出一张纸条：

1. 平均速度和瞬时速度，差在哪里？
2. 为什么切线斜率能代表“变化快慢”？
3. 为什么 $(uv{)}^{\prime }$ 不等于 $u^{\prime }{v}^{\prime }$？
4. 过山车的最高点，为什么切线是水平的？

小π 想了想：“第一题我大概能说，后面三个完全没底。”

欧拉笑了：“等你玩完这一章，四个都能答。”

小π 的自行车下坡时，码表每秒跳一次。

第一秒，他从 0 米骑到 1 米；第二秒，从 1 米骑到 4 米；第三秒，从 4 米骑到 9 米。

“你第一秒平均速度 1 米/秒，第二秒 3 米/秒，第三秒 5 米/秒。”欧拉说，“可码表不会等你骑完一秒才显示速度。它显示的是‘此刻’。”

小π 问：“那‘此刻’到底是哪一刻？”

欧拉说：“这就是这一节要回答的问题。”

一、平均速度

如果物体的位置是时间 $t$ 的函数 $s(t)$，那么在时间段 $[t_0,t_0+h]$ 里，平均速度是：

这里的 $h$ 是时间间隔。$h$ 越小，平均速度就越接近“某一瞬间”的速度。

比如 $s(t)=t^2$（单位：米），在 $t=2$ 附近：

• $h=1$：平均速度 $\frac{3^2-2^2}{1}=5$
• $h=0.5$：平均速度 $\frac{2.5^2-2^2}{0.5}=4.5$
• $h=0.1$：平均速度 $\frac{2.1^2-2^2}{0.1}=4.1$
• $h=0.01$：平均速度 $\frac{2.01^2-2^2}{0.01}=4.01$

数字越来越接近 4。

二、让 h 趋近于 0

$h$ 不能真的等于 0，否则分母为 0，式子没有意义。但我们可以让 $h$ 越来越小，看平均速度趋近于什么。

用代数算一遍：

只要 $h\ne 0$，就可以约掉 $h$。当 $h$ 越来越接近 0，$4+h$ 就越来越接近 4。

我们把这个“趋近的目标”记作：

读作“当 $h$ 趋近于 0 时，这个式子的极限是 4”。

所以 $s(t)=t^2$ 在 $t=2$ 时的瞬时速度是 4 米/秒。

三、从割线到切线

把函数图像画出来，平均速度就是连接两点的割线斜率：

当 $h$ 越来越小，第二个点沿着曲线滑向第一个点，割线就越来越接近切线。

所以：

瞬时速度 = 切线斜率 = 导数。

在 3.1 的游乐场里，你可以拖动 $h$，看割线一点点贴到切线上；右边的表格会显示 $h$ 和平均速度，数字会越来越靠近一个固定值。

四、导数的定义

把上面的过程写成一般形式：

这个数叫函数 $f$ 在 $x_0$ 处的导数。它表示：

• 几何上：曲线在 $x_0$ 处的切线斜率；
• 物理上：瞬时变化率；
• 生活里：那一刻“变化得有多快”。

导数的记号有好几种：

它们说的是同一件事。$\frac{dy}{dx}$ 不是“$dy$ 除以 $dx$”的普通分数，而是“$y$ 对 $x$ 的变化率”的记号——但它长得像分数，是因为它本来就是从“差商”来的。

五、用定义算一个导数

求 $f(x)=x^2$ 在任意点 $x$ 处的导数：

所以 $(x^2{)}^{\prime }=2x$。

• 在 $x=0$：切线水平，导数为 0；
• 在 $x=2$：导数为 4；
• 在 $x=-3$：导数为 $-6$（切线向下倾斜）。

这个结果，下一节会从图像上再看一遍。

六、挑战

一句话记住

让间隔越来越小，平均就变成了瞬时；割线就变成了切线。

小π 把手指放在 $y=x^2$ 的图像上，从左往右慢慢滑。

“每到一个点，切线都不一样。”他说。

欧拉点头：“把每个点的切线斜率都记下来，你会得到一条新的曲线。这条新曲线，叫导函数。”

一、从“一点的导数”到“导函数”

上一节，我们算的是 $f$ 在某一点 $x_0$ 的导数 $f^{\prime }(x_0)$。

如果让 $x_0$ 动起来，每一点都有一个导数值，于是就得到一个新函数：

它叫 $f$ 的导函数，简称导数。

• $f$ 给出“高度”；
• $f^{\prime }$ 给出“每一点的陡峭程度”。

在 3.2 的游乐场里，上面是 $f$ 的曲线和切线，下面是 $f^{\prime }$ 的轨迹。你拖动切点，两条曲线会同时动。

二、几个基本导数

用定义算一遍，能得到最常用的一批结果：

更一般地，对任何实数 $n$：

这就是幂法则。

• $(x^4{)}^{\prime }=4x^3$
• $(x^{10}{)}^{\prime }=10x^9$
• ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=(x^{-1}{)}^{\prime }=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$
• $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=(x^{1/2}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

常数的导数是 0：一条水平线，斜率为 0。

三、导函数图像怎么读

把 $f$ 和 $f^{\prime }$ 画在一起，会发现：

• $f^{\prime }$ 为正：$f$ 上升；
• $f^{\prime }$ 为负：$f$ 下降；
• $f^{\prime }=0$：$f$ 的切线水平，可能是山顶、山谷，也可能是“平台”。

以 $f(x)=x^2$ 为例，$f^{\prime }(x)=2x$：

• $x<0$：$f^{\prime }<0$，$f$ 下降；
• $x=0$：$f^{\prime }=0$，最低点；
• $x>0$：$f^{\prime }>0$，$f$ 上升。

所以导函数像一张“心电图”，告诉你原函数在哪里上、哪里下、哪里停。

四、不是所有点都有导数

$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处有一个尖角。

• 从左边靠近 0，斜率是 $-1$；
• 从右边靠近 0，斜率是 $+1$。

左右两边的“趋势”不一样，所以 $f^{\prime }(0)$ 不存在。这个点叫不可导点。

直观地说：曲线在这一点没有唯一的切线。你可以画出很多条“贴着”尖角的直线，但没有一条能同时贴住左右两边。

五、挑战